06609. GESP-8级-2026-03-子图最短路 未做

给定包含 $n$ 个结点 $m$ 条边的带权无向图 $G$，结点依次以 $1,2,\dots ,n$ 编号。第 $i$ ($1\le i\le m$) 条边连接编号为 $u_i$ 与 $v_i$ 的两个结点，权值为 $w_i$。

对于指定的 $1\le \ell \le r\le n$，按以下方式构造图 $G$ 的子图 $G(\ell ,r)$：

• 保留 $G$ 中编号在区间 $[\ell ,r]$ 中的结点。删去其它编号不在 $[\ell ,r]$ 中的结点以及与之相连的边。剩余的结点和边构成子图 $G(\ell ,r)$。

对于 $G(\ell ,r)$ 中的任意结点 $u,v$ 应有 $\ell \le u,v\le r$。记 $u,v$ 在子图 $G(\ell ,r)$ 上的最短距离为 $d(\ell ,r,u,v)$。特殊地，若 $u,v$ 在子图 $G(\ell ,r)$ 上不连通，则认为 $d(\ell ,r,u,v)=0$。

你需要求出 ${\sum }_{\ell =1}^n{\sum }_{r=\ell }^n{\sum }_{u=\ell }^r{\sum }_{v=u}^{r}d(\ell ,r,u,v)$ 对 $10^9$ 取模的结果。

• 题目中的英文字母 $l$ 使用了特殊写法 $\ell$，以避免英文字母 $l$ 与数字 $1$ 混淆。

第一行，两个正整数 $n,m$，表示结点数与边数。

接下来 $m$ 行，第 $i$ ($1\le i\le m$) 行包含三个正整数 $u_i,v_i,w_i$，表示一条连接结点 $u_i,v_i$ 的权值为 $w_i$ 的边。

输出一行，一个整数，表示 ${\sum }_{\ell =1}^n{\sum }_{r=\ell }^n{\sum }_{u=\ell }^r{\sum }_{v=u}^{r}d(\ell ,r,u,v)$ 对 $10^9$ 取模的结果。

对于 $40\%$ 的测试点，保证 $2\le n\le 20$。

对于所有测试点，保证 $2\le n\le 100$，$2\le m\le \frac{n(n-1)}{2}$，$1\le u_i,v_i\le n$，$1\le w_i\le 10^6$。图中可能存在重边。

来源：洛谷 P15805（CCF GESP 8 级上机题）