g6-02695. GESP-6级-2026-06-条形蛋糕

题目描述

寒假到了，小杨同学打算找一份兼职，顺便体验一下打工人的生活。

小杨同学给一家蛋糕店发送了一份自己的简历，希望可以在寒假来这里帮忙。店长最近正好遇到了一个难题：店里每天会做一条长条蛋糕，但是不同长度的蛋糕块卖出的价格不同，应该怎么分才能卖得最多呢？

有趣的是店长曾经学习过计算机专业。他最近对动态规划算法很感兴趣，于是打算用这个问题考一考小杨同学，问题如下：

给定一条长度为 $n$ 的长条蛋糕和一个价格表，该价格表表示长度为 $i$ （ $i = 1, 2, \dots, n$ ）的蛋糕块的价格为 $p_{i}$ 。求蛋糕的分割方案，使得总销售价格最大，注意蛋糕块的长度必须为整数。

第一行一个正整数 $n$ （ $1 \leq n \leq 1 0^{3}$ ），表示长条蛋糕的总长度。

第二行 $n$ 个正整数 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ （ $1 \leq p_{i} \leq 1 0^{5}$ ），表示不同长度蛋糕块的价格。

一行一个正整数，表示最大总销售价格。

输入

4
1 5 8 9

输出

第一个样例中，长度为 $1$ 的蛋糕价值为 $1$ ，长度为 $2$ 的蛋糕价值为 $5$ ，长度为 $3$ 的蛋糕价值为 $8$ ，长度为 $4$ 的蛋糕价值为 $9$ ；

总长度为 $4$ 的长条蛋糕，有 ${4}, {1, 3}, {2, 2}, {1, 1, 2}, {1, 1, 1, 1}$ 五种本质不同的分法。

其对应的总销售价格分别为 $9, 9, 10, 7, 4$ ，故最大总销售价格为 $10$ 。

第二个样例中，长度为 $10$ 的长条蛋糕，销售价格最大的分法为 ${10}$ ，最大总销售价格为 $30$ 。

来源：洛谷 P17012（CCF GESP 六级上机题）